 
     
  

 
 
      
  
  
  
  
  

    
    
    
  
  
 
   
     
    
   
    
   
   
    
      
   
    
    
   
   
   
   
     
     
   
   
   
     
    
  
    
  
   
    
     
     
   
      
        
     
    
      
   
      
      
      
     
       
 
 
            

            
 
      
         
       
             

     
     
        
        
         
        
      
             
           
         
       
󰁒
   
󰁒
 
󰁒
 
              
            
     
󰁓
󰃟
       
󰁔󰄰
󰃟
 
            
󰁔󰄰
󰄫
 

     

  
          
     
󰁔󰄰
󰃳
      
󰁔


󰁔
󰁔
󰁔


󰁔

     
󰝴

󰝴


 
󰃨
󰄭
        
󰝴
  
  
  
󰁔


󰁔
󰁔
󰁔

  

 

󰃨
󰄭
Note.              
             
 
󰁓
󰁔
    
󰁓
󰁔
  
            
             
              
              
                
               
              
    
󰃍
       
    
  
    
󰁝󰁕󰁖
     
󰃮
󰁔󰄰

             
           
  
               
              
              
                
              
       
      
     
   

         
   

    
       
              
             


                
           
  
             
               
  
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            
            
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 
              
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               
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                
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          
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            
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           
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            
            
   
󰁔󰄰
󰁔󰄰󰃳
     
    
            
       
Remark.                
                
            
    
󰁕
   
           
          
            
         

󰁔
     
              
          normalisable  square-integrable 
󰁕
󰢆
󰅎
⋆

󰢆
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
               

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 
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󰁔
            
       
    
           
󰃶
   
              
             
       

󰃯󰄡

                
                
                
        
  
             
󰁕
    Hilbert space  
Remark.        
󰁓
󰁔
 
󰁓
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󰁔
 
󰁓
󰁔
          
             
              
     
 
󰁓
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  
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Proof.   
󰁓
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   
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    
  
        
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⋆
   


     

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⋆

                
  

        
              
 
󰢆
󰅎
󰁔
󰁓
󰢆
󰅎
󰁔
󰁔
󰢆
󰅎

󰢆
󰅎
󰁔
󰢆
󰅎
󰁔
 
       

 
normalised 
   
󰃶
 orthonormal 
󰃵
󰃶
󰃵󰃶
  

󰃶
 complete      
󰃶
󰃶
󰃶

󰃶
 
󰃶
      
󰃶
󰃳󰁞󰁒
󰃳
󰃳

󰃳
󰃳
Proof.        
󰃶
󰓠
󰃶
󰃵
󰃵
󰃵
󰓧
󰃵
󰃵
󰃶
󰃵
󰃵
󰃵
󰃵󰃶
󰃶
Remark.              
       

󰁔
󰢆
󰅎
⋆
󰁔
   
            time-dependent
Schrödinger equation (TDSE)



󰁔

󰁔
     
Remark.            
              
 
󰁒
    
Remark.             
              
         
             


       

󰁔

     
    
              
󰢆
󰅎


󰁔
  

󰁔

⋆
⋆



⋆

   




󰁔
󰁔


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


󰁔
󰁔
⋆
󰁔



⋆

⋆

󰢆
󰅎
󰁔

󰢆
󰅎


⋆

⋆
 
⋆
  

   
              
   


 


⋆

⋆
     

  
   
              

  observable         
  operator      

󰁓
󰁓
󰁔
󰁔
󰁓

󰁓
󰁔

󰁔

󰁓
󰁔

󰁓
󰁔
              
              
              
         
    

       
󰃙
󰃶󰁞󰁒
󰃶

󰃶

󰃶
       
    
󰃦

    

  
              
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
󰃶
󰃶󰄰
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        
       
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
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         

             
     
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        
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 
Remark.               
󰃶
     
󰃶
      
               
         
       
󰃯
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  
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Proof.           
            
             
 
󰁔
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   
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 
󰁒
              
              
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    
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          
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          
     
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󰁝󰃳󰃦
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
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     

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    
󰁔
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󰁒
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         
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󰁔
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
               
             
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󰁒
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              
      
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         
               
 
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          
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       
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          
       
        
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  
 
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             
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
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          
   
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          
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          
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              
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           
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   
        
󰃯
    projection postulate
 
         
󰃯󰞃󰃔
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             
  
   

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 projector     
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      
  
󰄸
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 
  commutator   

    

      

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  
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       

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
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
            


   
  

    simultaneously diagonalisable  
     
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
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  

      

Proof. 

        
 
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 
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   
󰃯
    

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           
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       
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   
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
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
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  
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  
 
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             
  

 
  uncertainty          
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    
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
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       
Proof. 
 
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            
    
   
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     
  
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
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  
   
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󰁝󰃺󰄭
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