 
     
  

  
 
 
 
    
      
  
  
   
    
   
  
 
  
  integral group ring      
󰃬

󰃬
     
󰃬
       
  
󰃬
󰃬

󰃬
󰃬

   
󰃮󰞃󰃒
󰃮
󰃳󰞃󰃒
󰃳

󰃮󰃳󰁞󰃬
󰃮
󰃳
             
      
 (left) -module         
  
 
󰁓
󰁔

󰁓

󰁔
 
󰁓
󰁔

󰁓
󰁔

󰁓

󰁔

󰁓
󰁔

 
  trivial      the     
    
 free         
󰄃

󰄃
 
    
󰄃
           

           
 (left) -map  morphism
󰁓
󰁔
     
  
󰁓
  augmentation map        
󰃬
󰃬
         
  
󰃒
            
  
     

󰃒

              
  

  
󰃒
       
 
   

󰃒
 
          
Remark.              
 
󰁓
󰁔
   dual maps
⋆
  
󰃒

󰁔

󰃒

󰁓
          
󰁓
󰁔
 induced maps
⋆
 
󰃒

󰁓

󰃒

󰁔
     
      
    
            
󰃯


󰃯
  
󰃯󰁜󰁓

󰃯󰁝󰁓
             
     
󰃯

󰃯󰁜󰁓
       
    
󰁒
 
    
󰁒

󰁓
      
󰁓
󰁒
   
 
󰁒
     
 chain complex    
󰃻
󰃻󰁝󰁓
󰃻󰁝󰁔
󰃼
󰃩
󰇴
󰃩
󰇴󰅖󰅌
󰃩
󰇵󰅕󰅌
     
󰃶
󰃶󰁜󰁓
  
󰃶󰁜󰁓

󰃶
  
   

󰃶
󰃶
󰃼󰝺󰃶󰝺󰃻
 
 exact 
󰃶
 
󰃶󰁜󰁓

󰃶
     exact      
󰃶

 homology     
󰃻


󰃻
󰃶


󰃶

󰃶󰁜󰁓
󰃼


󰃼󰁝󰁓
󰃼

󰃼󰁜󰁓
short exact sequence        
󰁓
󰁔
󰁕
󰄡
󰄢
        
          
 
     
 
              
 
   projective     
󰁓
󰁔

 
󰁔
  
󰁓
 
󰁓
󰁔
󰄢
󰄢
󰄡
    
󰁓
󰁔
󰃫
󰄡
  

󰃒
 
󰃒

󰁓

󰃒

󰁔
󰃫
⋆
󰄡
⋆
               
              
 
󰃒

󰁔
    
Proof. 
󰁓
󰁔
     
󰁔
   
  
󰄃
󰁓
  
󰄃
   
󰁓


󰄃
󰄃
󰄃
     
 projective (free) resolution        
󰁓
󰁒
󰃩
󰅍
󰃩
󰅌
󰃩
󰅋
 
󰃯
       
              
   
 
󰞖󰁟󰃼󰁝󰁓󰁠
󰄥
    
          
    
󰄢
󰄡 󰄥󰄡
󰄢

 
󰃶󰁝󰁓
           
󰁓
     
      
               
         
              
             
        
   type
󰃶
   
󰁓
󰁒
󰃩
󰅍
󰃩
󰅌
󰃩
󰅋
     
󰃶
󰃶󰁝󰁓
󰁒
    
   type
󰞏
       
󰃯
  
     type        
󰃯
            
󰃻

 
           
         
󰞏
        

             
󰃶

         
 
   
󰃻
󰃻󰁝󰁓
󰁓
󰁒
   
󰃻󰁜󰁓
     
󰃻󰁜󰁓

󰃻󰁜󰁓
   
󰃻
  
󰃻󰁜󰁓
 
󰄃
󰞃󰃛
󰇴󰅕󰅌
󰄃
󰞃󰃛
󰇴
             
󰃻
 
   
󰃻󰁜󰁓
󰃻
󰃻󰁝󰁓
󰁓
󰁒
󰃩
󰇴󰅕󰅌
   
󰃻
    
󰃻󰁜󰁓
  
  
󰃻
         
󰃻󰁜󰁓
     
  
󰃻
          
  standard  bar       
󰁟󰃶󰁠
  
  
󰁟󰃶󰁠
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󰃶

󰁟󰁒󰁠
         
󰃶

󰁟󰃶󰁠
  
      
󰃶
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             
󰁓
󰁒
Remark.            
    
󰃶󰁜󰁓
         
󰃶󰁜󰁓

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 
󰃶󰁜󰁓
            
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   
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     

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󰃶
     
Proof.    
󰃶
    
󰃶
 
󰁟󰃶󰁠
  

󰁟󰃶󰁠
󰁒
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             
󰃶
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      
󰞏
Proof.      
 
   
󰃶󰁜󰁓
󰃶
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󰁒
        
󰃒
   


󰃒
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
󰃶
⋆
󰃶
  th cohomology group
󰃶
   
󰃶

󰃶󰁜󰁓

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󰁒

󰁓
Remark.       
󰃒
    
     
󰃶

󰃒

󰁝󰃶
    
         
         
 
󰞖󰁟󰃼󰁝󰁓󰁠
 
󰃒
 
󰁓
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󰁓

      
󰃒
   
󰁓

󰁓
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 
󰄡
           
󰁒

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󰃒
󰁓
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󰃒
󰃶
 
     
󰃒
          

󰃒
       
Remark.     
󰁒

󰃒
  
󰁓

󰃒
   

󰃒
                
         
   cohomological dimension      

󰃵

󰃶
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󰁓
Remark.    
󰁒
       
             
               
              
          
           

󰃒

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󰃶
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
󰃶
    
󰁟󰃶󰁠
       
 
󰃶
     
󰃶
  
󰁒

    
󰁒
  
     -cochains     
󰃶
  th
coboundary map
󰃶
󰃶󰁝󰁓
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󰃶
   
󰃶
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   -cocycles 
󰃶

󰃶󰁜󰁓
󰃶
    -coboundaries 
󰃶

󰃶
󰃶
      
󰃶

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
󰁒
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󰃒
 
 derivation        

 
󰁓
            
 
  inner derivation        
  
   

󰁓
          
    
󰁓

 
      
    
           
  
󰃶
󰃶

󰃶
󰃶
     chain map 
󰃶

  
󰃶
󰃶
󰃶
     
󰃶
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󰄡
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   
󰃶
      
⋆
󰃶

󰃶
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Proof.  
󰃶
 
⋆
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󰃶
       
      
󰃶
 
󰃶

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󰅄
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   
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                
   
󰃶
       
Proof.    
󰃶
󰃶
 
󰅄
󰃶
󰅄
󰃶
     
 
󰃶
󰃶
󰅄
󰃶

󰃶
󰅄
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
󰃶󰁝󰁓
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   
󰃶
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
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󰅄
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
 
󰃶

󰃶
    
󰃶

󰅄
󰃶
 chain homotopies   

󰃶

󰃶
    

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󰅄

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
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󰅄
             
 
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⋆
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  
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    

󰃶󰁜󰁓

󰃶
 
 
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 
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    
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Remark.              
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  
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 
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        
    
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      
        
First interpretation.           
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      
           
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            
             
     
Second interpretation.     
          semidirect product
        
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 
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        
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        splitting   
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      
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 
        extension    
      
              
            
 
    
        
       split extension    
    equivalent       
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 central           
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           
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                 
                
 


󰅄
       
󰅄
  derived subgroup  
                
    


        
 relation module   

󰅄
     


             
               
          

 
            
󰁓
 
󰃒


󰁔

            
󰁔
  

      
              
 
󰃒

󰁔

Proof.    
󰁓
      
               
  

 
󰃒



󰃒

  
             
     
󰢎󰃒
       
         
󰃶

  Schur multiplier       
󰁔

          
     

󰁓


󰁔
 
 
󰁓


   
󰢎
     


  
󰅄
 


󰁔

         
󰁔

󰝶

󰝶
   
          
           

    
 

󰅄

       

   
󰅄

  
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